Historia de las ecuaciones polinómicas Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue Ecuaciones Una expresión algebráica: es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z. Un término: es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z. Un factor: es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z . Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico. Dos términos: se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico. El grado de un término: es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación. Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación. Clasificación Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas: a) Por el número de incógnitas. Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones. b) Por el grado de la incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma: Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones: x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3 .................................. x1x2...xn = (-1)nan Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones. c) Por el número de términos c1) Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas. c2) Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones? Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa. a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas: -Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b -Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a. miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos). En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará inecuación. Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior: 3x + 1 = x - 2. - Sumar o restar a los dos miembros un mismo nómero. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros: 3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma" - Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo nómero. En este caso por 2: 2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando". EJERCICIOS PREGUNTAS 01) x + 4 = 28 02) y - 6.5 = 31 03) 8z = 40 + 3z 04) 10x = - 5x + 60 05) - 15y + 3 = - 36 - 18y 06) 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12 07) 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5 08) 15x - 40 - 5x - 20 = 0 09) 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2) 10) - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7) 11) - 18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]