octubre 29, 2009

Rene Descartes

Biografía René Descartes (1596-1650) 1. Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, en la Turena francesa. Pertenecía a una familia de la baja nobleza, siendo su padre, Joachin Descartes, Consejero en el Parlamento de Bretaña. La temprana muerte de su madre, Jeanne Brochard, pocos meses después de su nacimiento, le llevará a ser criado en casa de su abuela materna, a cargo de una nodriza a la que permanecerá ligado toda su vida. Posteriormente hará sus estudios en el colegio de los jesuitas de La Flèche, hasta los dieciséis años, estudiando luego Derecho en la Universidad de Poitiers. Según la propia confesión de Descartes, tanto en el Discurso del método como en las Meditaciones, las enseñanzas del colegio le decepcionaron, debido a las numerosas lagunas que presentaban los saberes recibidos, a excepción de las matemáticas, en donde veía la posibilidad de encontrar un verdadero saber. 2. Esta muestra de escepticismo, que Descartes presenta como un rasgo personal es, sin embargo, una característica del pensamiento de finales del siglo XVI y principios del XVII, en los que el pirronismo ejerció una notable influencia. Terminados sus estudios Descartes comienza un período de viajes, apartándose de las aulas, convencido de no poder encontrar en ellas el verdadero saber: 3. "Por ello, tan pronto como la edad me permitió salir de la sujeción de mis preceptores, abandoné completamente el estudio de las letras. Y, tomando la decisión de no buscar otra ciencia que la que pudiera hallar en mí mismo o en el gran libro del mundo, dediqué el resto de mi juventud a viajar, a conocer cortes y ejércitos, a tratar con gentes de diversos temperamentos y condiciones, a recoger diferentes experiencias, a ponerme a mí mismo a prueba en las ocasiones que la fortuna me deparaba, y a hacer siempre tal reflexión sobre las cosas que se me presentaban, que pudiese obtener algún provecho de ellas." (Discurso del método) 4. Después de sus estudios opta, pues, por la carrera de las armas y se enrola en 1618, en Holanda, en las tropas de Maurice de Nassau, príncipe de Orange. Allí conocerá a un joven científico, Isaac Beeckman, para quien escribe pequeños trabajos de física, como "Sobre la presión del agua en un vaso" y "Sobre la caída de una piedra en el vacío", así como un compendio de música. Durante varios años mantienen una intensa y estrecha amistad, ejerciendo Beeckman una influencia decisiva sobre Descartes, sobre todo en la concepción de una física matemática, en la que había sido instruido por Beeckman. Continúa posteriormente sus investigaciones en geometría, álgebra y mecánica, orientado hacia la búsqueda de un método "científico" y universal. 5. En 1619 abandona Holanda y se instala en Dinamarca, y luego en Alemania, asistiendo a la coronación del emperador Fernando en Frankfurt. Se enrola entonces en el ejército del duque Maximiliano de Baviera. Acuartelado cerca de Baviera durante el invierno, pasa su tiempo en una habitación calentada por una estufa, donde elabora su método, fusión de procedimientos lógicos, geométricos y algebraicos. De esa época será la concepción de la posibilidad de una matemática universal (la idea de una ciencia universal, de un verdadero saber) y se promete emplearla en renovar toda la ciencia y toda la filosofía. 6. La noche del 10 de noviembre de 1619 tiene tres sueños sucesivos que interpreta como un mensaje del cielo para consagrarse a su misión filosófica. La importancia que concede Descartes a estos sueños choca con las características que se le atribuyen ordinariamente a su sistema ( racionalismo), pero según el mismo Descartes nos relata, estarían en la base de su determinación de dedicarse a la filosofía, y contendrían ya la idea de la posibilidad de fundamentar con certeza el conocimiento y, con ello, reconstruir el edificio del saber sobre cimientos firmes y seguros. Habiéndose dotado con su método de una moral provisional, renuncia a su carrera en el ejército. De 1620 a 1628 viaja a través de Europa, residiendo en París entre los años 1625-28, dedicando su tiempo a las relaciones sociales y al estudio, entablando amistad con el cardenal Bérulle, quien le animará a desarrollar sus teorías en afinidad con el catolicismo. Durante este período se ejercita en su método, se libera de los prejuicios, acumula experiencias y elabora múltiples trabajos descubriendo especialmente en 1626 la ley de refracción de los rayos luminosos. También en esta época redacta las "Reglas para la dirección del espíritu", obra inacabada que expone lo esencial de su método. 7. En 1628 se retira a Holanda para trabajar en paz. Permanecerá allí veinte años, cambiando a menudo de residencia, completamente ocupado en su tarea filosófica. Comienza por componer un pequeño tratado de metafísica sobre el alma y Dios del que se dice satisfecho y que debe servir a la vez de arma contra el ateísmo y de fundamento de la física. Dicho tratado contendría ya las ideas fundamentales de lo que serían posteriormente las "Meditaciones metafísicas", según algunos estudiosos del cartesianismo, opinión no compartida por otros, que creen demasiado temprana la fecha como para que Descartes estuvisese ya en posesión de su metafísica. 8. Interrumpe la elaboración de dicho tratado para escribir en 1629 un "Tratado del mundo y de la luz" que acaba en 1633 y que contiene su física, de caracter mecanicista. Pero, habiendo conocido por azar la condena de Galileo por haber sostenido el movimiento de la tierra (que también sostenía Descartes), renuncia a publicar su trabajo. Por una parte no quiere enfrentarse con la Iglesia a la cual está sometido por la fe. Por otra, piensa que el conflicto entre la ciencia y la religión es un malentendido. En fin, espera que un día el mundo comprenderá y que podrá editar su libro. Este "miedo" de Descartes ante la condena de Galileo ha llevado a algunos estudiosos a buscar en su obra un significado "oculto", llegando a interpretar la demostración de la existencia de Dios que realiza en las Meditaciones como un simple ejercico de prudencia, que no se correspondería con el "auténtico" pensamiento cartesiano sobre la cuestión. Para difundir su doctrina mientras tanto publica resúmenes de su física, precedidos por un prefacio. Es el famoso "Discurso del método", seguido de "La Dióptrica", los "Meteoros" y "La Geometría", que sólo son ensayos de este método (1637). El éxito le conduce a dedicarse completamente a la filosofía. Publica en 1641, en latín, la "Meditaciones sobre la filosofía primera", más conocida como Las Meditaciones metafísicas, que somete previamente a los grandes espíritus de la época (Mersenne, Gassendi, Arnauld, Hobbes...) cuyas objeciones seguidas de respuestas serán publicadas al mismo tiempo. En 1640 muere su hija Francine, nacida en 1635, fruto de la relación amorosa mantenida con una sirvienta. En 1644 publica en latín los "Principios de la filosofía". La publicación de estas obras le proporciona a Descartes el reconocimiento público, pero también es la causa de numerosas disputas. 9. En 1643 conoce a Elizabeth de Bohemia, hija del elector palatino destronado y exiliado en Holanda. La princesa lo adopta como director de conciencia, de donde surgirá una abundante correspondencia en la que Descartes profundiza sobre la moral y sobre sus opiniones políticas y que le conducen en 1649 a la publicación de "Las pasiones del alma", más conocida como el Tratado de las pasiones, que será la última obra publicada en vida del autor y supervisada por él. 10. Posteriormente realiza tres viajes a Francia, en 1644, 47 y 48. Será en el curso del segundo cuando conozca a Pascal. Su fama le valdrá la atención de la reina Cristina de Suecia. Es invitado por ella en febrero de 1649 para que le introduzca en su filosofía. Descartes, reticente, parte sin embargo en septiembre para Suecia. El alejamiento, el rigor del invierno, la envidia de los doctos, contraría su estancia. La reina le cita en palacio cada mañana a las cinco de la madrugada para recibir sus lecciones. Descartes, de salud frágil y acostumbrado a permanecer escribiendo en la cama hasta media mañana, coge frío y muere de una neumonía en Estocolmo el 11 de febrero de 1650 a la edad de 53 años.
Frases de Rene Descartes
Prudencia:
Es prudente no fiarse por entero de quienes nos han engañado una vez.
Sabiduria:
Daría todo lo que sé, por la mitad de lo que ignoro.
Progreso:
Dos cosas contribuyen a avanzar: ir más deprisa que los otros o ir por el buen camino.
Matematicas:
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.
Bondad:
El bien que hemos hecho nos da una satisfacción interior, que es la más dulce de todas las pasiones.

marzo 09, 2007

Historia de las ecuaciones polinómicas Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del ár. algabru walmuqābalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez), los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue Ecuaciones Una expresión algebráica: es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z. Un término: es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z. Un factor: es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z . Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico. Dos términos: se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico. El grado de un término: es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero. Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación. Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación. Clasificación Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas: a) Por el número de incógnitas. Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones. b) Por el grado de la incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma: Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones: x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3 .................................. x1x2...xn = (-1)nan Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones. c) Por el número de términos c1) Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas. c2) Ecuaciones polinómicas: Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas. ¿Cómo se resuelven las ecuaciones? Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa. a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas: -Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b -Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a. miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos). En muchos problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica; se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos sobre el que se plantea la ecuación que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones se denominará inecuación. Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior: 3x + 1 = x - 2. - Sumar o restar a los dos miembros un mismo nómero. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros: 3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma" - Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo nómero. En este caso por 2: 2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando". EJERCICIOS PREGUNTAS 01) x + 4 = 28 02) y - 6.5 = 31 03) 8z = 40 + 3z 04) 10x = - 5x + 60 05) - 15y + 3 = - 36 - 18y 06) 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12 07) 4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5 08) 15x - 40 - 5x - 20 = 0 09) 16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2) 10) - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7) 11) - 18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]